3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике


3.3. Способ вырезания узла

Употребляется для определения усилий обычных систем.

Суть способа: вырезается узел с менее чем 2-мя неведомыми усилиями; силы, действующие в узле, проецируются на две оси; из этих уравнений определяются разыскиваемые усилия.

К примеру, при 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике расчете балочно-ферменной системы (рис. 3.4 а), после того как определены опорные реакции (рис. 3.4 б), вырезается узел А (рис. 3.4 в) и составляются уравнения равновесия:

X = N2 cos45– N1 cos45= 0,

Y = N1 sin 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике45+ N2 sin45+ P/2 = 0.

Из их определяются разыскиваемые продольные силы: .



Рис. 3.4

^ 3.4. Способ подмены связей

Применяется при расчете сложных статически определимых систем, которые тяжело высчитать другими методами.

Суть способа: непростая система преобразуется в 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике более ординарную методом перестановки связи (либо нескольких связей) в другое место; из условия эквивалентности данной и заменяющей систем определяется усилие в переставленной связи; потом система рассчитывается известными методами.

К примеру, для расчета рамы (рис. 3.5 а 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике) удалим правый вертикальный стержень данной системы (ЗС) и введем одну связь в левый шарнир. Тогда шарнир станет припайкой С, а примыкающие к нему стержни будут агрессивно связаны. Обозначив усилие в удаленной связи 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике через X, получим так именуемую основную систему (ОС) для расчета рамы (рис. 3.5 б).



Рис. 3.5

Условием эквивалентности ОС по отношению к ЗС будет условие равенства нулю момента в точке С 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике: MC=0. По принципу суперпозиции этот момент приравнивается сумме моментов от силы X и наружной нагрузки:

MC=MC,X + MC,P =0.

Сейчас разглядим два состояния ОС:

1) единичное состояние (ЕС), где прикладываются силы X=1 (рис. 3.5 в);

2) грузовое 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике состояние (ГС), где прикладывается нагрузка (рис. 3.5 г).

Тогда предшествующее уравнение воспримет вид

X + MC,P =0,

где =1a=a – момент в точке С в единичном состоянии;

MC,P= – момент в точке С 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике в грузовом состоянии.

Сейчас неведомое усилие просто рассчитывается:

.

После чего можно перейти к расчету более обычной системы (рис. 3.5 д).

В более сложных случаях переставляются несколько связей и записываются столько же критерий эквивалентности 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике:

s11X1+s12X2++ s1nXn+S1P=0,

s21X1+s22X2++ s2nXn+S2P=0, . . . . . . . . . . . . . . . . .

sn1X1+sn2X2++ snnXn+SnP=0.

Тут 1, 2, , n – заменяемые связи; X1, X2, , Xn – неведомые внутренние усилия в этих 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике связях; sij – усилие в связи i в j-ом единичном состоянии; SiP – усилие в i-ой связи в грузовом состоянии.

Из этой системы уравнений определяются неведомые X1, X2, , Xn.

Общий вывод 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике. Расчет хоть какой статически определимой системы приводит к решению системы n линейных уравнений с n неведомыми. Если определитель приобретенной системы уравнений отличен от нуля (det0), внутренние усилия будут конечными величинами. Если же 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике определитель приравнивается нулю (det=0), то внутренние усилия найти нельзя. В данном случае система является одномоментно изменяемой.

В о п р о с ы

1. Какая система именуется статически определимой?

2. Какие особенности имеет статически определимая 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике система?

3. Какие формы уравнений равновесия можно записать для плоской системы?

4. Что такое изгибающий момент, поперечная сила и продольная сила, как определяются их знаки?

5. Какие способы применяются при расчете статически определимых систем 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике?

6. В чем суть способа подмены связей?

7. Какой общий вывод можно сделать после анализа способов расчета статически определимых систем?


Л е к ц и я 4

Способы РАСЧЕТА СТАТИчески определимых систем НА ПОСТОЯННУЮ 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике НАГРУЗКУ (продолжение)

^ 4. Расчет ферм

Ферма – это геометрически неизменяемая система, состоящая из прямых стержней, соединенных в узлах агрессивно либо шарнирно (рис. 4.1 а). Подмена жестких узлов шарнирами превращает их в шарнирную ферму (рис. 4.1 б).



Рис. 4.1

Для статической 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике определимости и геометрической неизменяемости шарнирных ферм должно производиться условие

.

При действии узловой нагрузки стержни фермы работают в главном на растяжение либо сжатие, а моменты и поперечные силы в их отсутствуют. Потому в стержнях 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике шарнирной фермы определяются только продольные усилия.

Положительное усилие Nij в стержне фермы меж узлами i и j (рис. 4.2 а) следует навести в сторону от шарниров (рис. 4.2 б).



Рис. 4.2

При расчете обычных 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике ферм употребляются способы вырезания узлов, сквозных сечений, совместных сечений, подмены стержней и др. Тут разглядим только два способа.

Способ вырезания узлов основан на поочередном вырезании и рассмотрении равновесия узлов фермы.

^ Суть способа: вырезается 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике узел, в каком менее 2-ух неведомых; составляются уравнения равновесия X=0 и Y=0; из их определяются неведомые продольные усилия. После чего можно вырезать последующий узел и продолжить расчет.

В способе вырезания 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике узлов нужно установить порядок вырезания узлов. К примеру, для расчета фермы (рис. 4.3 а) поначалу вырежем узел A (рис. 4.3 б) и запишем уравнения равновесия:

X = NA-10+NA-1 cos=0;

Y = NA-1 sin+1,5P=0.

Из их 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике: NA-1= –1,5P/sin;  NA-10=1,5P/tg .



Рис. 4.3

Сейчас вырежем узел 10 (рис. 4.3 в) и запишем условия равновесия:

X = N9-10 –NA-10=0;

Y = N1-10=0.

Из их получаем: N9-10 =NA-10=1,5P/tg; N1-10=0.

После чего можно 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике вырезать узлы 1, 9, 2, 3, 8, 4, 7, 6, 5.

У способа вырезания узлов есть недочет: ошибка (некорректность), допущенная при расчете 1-го узла, оказывает влияние на следующие вычисления. Потому результаты, приобретенные этим способом, нужно держать под контролем. К примеру 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике, результаты расчета фермы могут быть испытаны по формуле

,

где – усилия в стержнях, – длины стержней, и – проекции нагрузок (включая и опорные реакции), x и y – координаты нагрузок.

Из способа вырезания узлов вытекают несколько признаков (личных 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике случаев), упрощающих расчет ферм:

1) если в узле сходятся два стержня и наружняя нагрузка не приложена (рис. 4.4 а), то оба усилия равны нулю: N1= N2=0;

2) если в узле сходятся два стержня, а наружняя нагрузка 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике действует в направлении 1-го стержня (рис. 4.4 б), то N1=P, N2=0;

3) если в трехстержневом узле два стержня лежат на одной прямой, а наружной нагрузки нет (рис. 4.4 в), то усилия в 2-ух 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике стержнях равны: N1= N2, а усилие в боковом стержне равно нулю: N3=0;

4) если в четырехстержневом узле стержни попарно лежат на одной прямой, а наружной нагрузки нет (рис. 4.4 г), то усилия также попарно равны 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике меж собой: N1= N2, N3= N4.



Рис. 4.4

Используя эти признаки просто определяются некие усилия рассмотренной фермы (рис. 4.3 а):

– по 2-му признаку N1-10=N1-9=N2-9=0; N5-6=N5-7=N4-7=0;

– по 3-му признаку NA-10=N9-10=N 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике8-9; NB-6=N6-7=N7-8; NA-1=N1-2; NB-5= N4-5.

Способ сквозных сечений позволяет определять усилие в стержне фермы только из 1-го уравнения.

Суть способа: поперек фермы проводится такое сквозное сечение, чтоб 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике появилось менее 3-х неведомых усилий; в точке скрещения направлений 2-ух из их составляется уравнение момента, из которого определяется третье усилие.

Точка, в какой составляется уравнение момента, именуется моментной точкой.

В качестве примера разглядим ту же 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике ферму, проведя через нее сквозное сечение I–I (рис. 4.3 а). Рассматривая равновесие левой части от сечения (рис. 4.5), составим уравнение момента в точке 1:

M1 = N9-10–1,5Pa=0.

Отсюда получаем: N9-10=4,5P 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике . Рис. 4.5

Точка 9 является моментной точкой для N1-2. Потому

M9 = –N1-2 b –1,5P2a=0.

Потому что b=2asin, получаем   N1-2=–1,5P/ sin .

Для N1-9: MA = –N1-9c=0. Отсюда получаем N1-9=0.

Время от времени (к примеру 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике, когда два стержня параллельны) моментной точки не существует. В данном случае заместо уравнения момента следует составлять уравнение проекции на ось, перпендикулярную этим параллельным стержням.

У способа сквозных сечений есть 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике один недочет: в сложных фермах не удается провести такое сквозное сечение, чтоб появились только три неведомых усилия. В данном случае некие неведомые необходимо определять заблаговременно либо использовать другие способы (способы совместных сечений либо подмены связей 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике).

^ 5. Расчет разрезных балок

Зависимо от расположения опор и шарниров, разрезные балки могут быть различными (рис. 4.6).



Рис. 4.6

Для геометрической неизменяемости и статической определимости разрезных балок должно производиться условие

.

Взаимодействие частей разрезной балки легче учить методом 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике составления их этажных схем. Для этого выявляются те части балки, которые могут без помощи других нести внешнюю нагрузку (назовем их главными опорами). Все главные балки изображаются на первом этаже 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике. Те части балки, которые примыкают к основным опорам (навесные балки) и могут нести нагрузку только при опирании на главные балки, изображаются этажом выше и т.д. В итоге выходит этажная схема балки.

К 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике примеру, рассмотренные на рис. 4.6 разрезные балки можно представить в виде последующих этажных схем (рис. 4.7).



Рис. 4.7

Расчет разрезных балок начинается с самого верхнего этажа: определяются опорные реакции и внутренние усилия этой части балки от ее 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике нагрузки. После чего перебегаем к нижележащему этажу. Но, не считая собственной нагрузки, к нему следует приложить и давление от вышележащего этажа (которое равно реакции вышележащего этажа, но ориентировано в 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике обратную сторону). Потом определяются его реакции и внутренние усилия. Дальше расчет длится до самого первого этажа.

Разглядим пример (рис. 4.8 а). Сначала строим этажную схему (рис. 4.8 б), проводим расчет навесной балки (рис. 4.8 в), а потом 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике главной балки (рис. 4.8 г). Приобретенные эпюры для отдельных частей балки объединяем в общие эпюры M и Q (рис. 4.8 д, е).



Рис. 4.8

^ 6. Расчет трехшарнирных систем

Трехшарнирная система – это система из 2-ух дисков, связанных меж 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике собой и основанием 3-мя шарнирами. Есть трехшарнирные системы 2-ух видов: арочные (рис. 4.9 а) и навесные системы (рис. 4.9 б).



Рис. 4.9

Их расчет не достаточно отличается друг от друга. Потому остановимся на арочных системах, которые 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике бывают 3-х типов: трехшарнирные рамы (рис. 4.10 а), трехшарнирные арочные фермы (рис. 4.10 б) и трехшарнирные арки (рис. 4.10 в):



Рис. 4.10

Особенность трехшарнирных систем заключается в том, что в их появляется распор (боковое давление 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике) даже от вертикальной нагрузки. Опорные реакции таких систем (рис. 4.11 а) можно определять способом совместных сечений. В итоге возникают независящие две части с шестью неведомыми (четыре опорные реакции RA, RB, HA, HB и две 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике междисковые реакции XC, YC (рис. 4.11 б).



Рис. 4.11

Составив для каждого диска по три уравнения равновесия (всего 6 уравнений), можно найти все эти реакции. Дальше каждый диск рассчитывается без помощи других.

В о 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике п р о с ы

1. Какие упрощения принимаются при расчете ферм?

2. Какие способы применяются при расчете ферм?

3. Какова суть способа сквозных сечений?

4. Назовите признаки, упрощающие расчет ферм.

5. Как строится этажная схема?

6. В чем 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике основная особенность трехшарнирных систем?


Л е к ц и я 5

^ РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

НА ПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ

Подвижной нагрузкой именуется нагрузка, передвигающаяся по сооружению с некой скоростью. Например, таковой нагрузкой 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике является транспорт (рис. 5.1 а). Его можно рассматривать как систему взаимо-связанных параллельных сил, передвигающихся по сооружению (рис. 1.5 б).



Рис. 5.1

^ 1. Способы расчета сооружений на подвижную нагрузку

Подвижная нагрузка вызывает в элементах сооружения переменные внутренние 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике усилия. Расчет сооружения на подвижную нагрузку, даже без учета динамических эффектов (к примеру, ускорений и инерционных сил), труднее расчета на постоянную нагрузку. Так как приходится решать несколько задач:

1) определять более опасное (расчетное) положение 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике нагрузки;

2) определять наибольшее (расчетное) значение этой нагрузки;

3) рассчитывать сооружение на расчетную нагрузку.

Расчет на подвижную нагрузку можно вести 2-мя способами.

Общий способ. Суть способа: подвижная нагрузка рассматривается полностью и обозначается одной 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике координатой; разыскиваемое внутреннее усилие выражается как функция этой координаты; эта функция исследуется на экстремум и определяется расчетное положение нагрузки; потом рассчитывается расчетное значение внутреннего усилия.

Этот способ универсален, но сложен для реализации.

Способ 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике линий воздействия. Суть способа: разыскиваемая величина (внутреннее усилие, реакция и др.) определяется как функция от подвижной единичной силы; строится график этой функции, а потом находятся расчетное положение и расчетное значение этой величины.

Способ 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике линий воздействия более прост для реализации, позволяет довольно легко определять расчетное положение нагрузки и ее величину. Потому дальше остановимся лишь на нем.

Линия воздействия (ЛВ) – это график зависимости разыскиваемой величины от 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике подвижной единичной силы P=1.

Понятия ЛВ и эпюры нельзя путать, так как эпюра указывает значение внутреннего усилия для всех точек (сечений) от неизменной нагрузки, а ЛВ указывает значение внутреннего усилия от подвижной 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике единичной силы P=1 только для 1-го сечения.

^ 2. Построение линий воздействия усилий обычной балки

Разглядим консольную опору, на которую действует подвижная нагрузка P=1 (рис. 5.2 а).



Рис. 5.2

1) Полосы воздействия опорных реакций

Сумма моментов в правой опоре:

MB=−RA 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике l + 1 (l – x) = 0.

Отсюда RA = .

Для построения графика этой функции найдем положение 2-ух точек:

если x=0 , то RA=1; если x=l , то RA=0.

Через эти точки проводим прямую и 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике строим ЛВ реакции RA (рис. 5.2 б).

Для определения правой опорной реакции составим уравнение

MA=RBl – 1 x = 0.

Отсюда RB = .

Если x=0, то RB=0; если x=l, то RB=1. Через эти точки проводим прямую и строим ЛВ 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике реакции RB (рис. 5.2 в).

2) Полосы воздействия поперечной силы и момента

Они зависят от положения сечения, в каком определяются.

а) Единичная сила правее сечения К

В данном случае QK= RA , MK= RAa.

Эти 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике функции определяют правые ветки ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2 г, д).

б) Единичная сила левее сечения К

В данном случае внутренние усилия определяем через правую опорную реакцию 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике. Тогда QK=– RB , MK=RBb. Эти функции определяют левые ветки ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2 г, д).

Если сечение размещается на консольных (левой либо правой) частях балки (рис 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике. 5.3 а), ЛВ поперечной силы и момента будут совершенно другими. Приведем итог их построения для 2-ух сечений К1 и К2 (рис. 5.3 б-д).



Рис. 5.3

В неких расчетных схемах (к примеру, в этажных схемах разрезной балки 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике) встречаются консоли с заделками справа либо слева. ЛВ их усилий можно получить и без расчетов, используя надлежащие левые и правые части прошлых линий воздействия (рис. 5.3 б-д), считая, что в точках 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике А и В имеются заделки.

Приобретенные ЛВ опорных реакций и внутренних усилий употребляются как известные решения при расчете подобных балок и как промежные решения при расчете многопролетных балок.

^ 3. Построение ЛВ при 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике узловой передаче нагрузки

В неких сооружениях нагрузка на их несущую часть может передаваться через вспомогательные балки. К примеру, такая конструктивная схема нередко употребляется в мостах: там на главную опору накладываются поперечные 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике балки, а на их – настил (рис. 5.4 а). В таких сооружениях нагрузка на главные балки передается через узлы скрещения главной балки с поперечными опорами.



Рис. 5.4

Если б нагрузка действовала лишь на главную опору 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике, ЛВ момента MK была бы как на рис. 5.4 б. Потому, когда единичная сила находится над поперечными опорами, ординаты ЛВ будут такими же. Но, когда единичная сила находится меж поперечными опорами, ЛВ сглаживается (рис. 5.4 в).


^ 4. Определение 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике усилий по ЛВ

Пусть ЛВ какого-то усилия S определяется уравнением y=f(x). По этому графику можно определять усилие S от случайной нагрузки.

Действие сосредоточенной силы (рис. 5.5 а). Если 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике система упругая, то внутреннее усилие прямо пропор-ционально нагрузке. Потому S=Py. Если же действует несколько сил, то внутреннее усилие определяется по принципу суперпозиции:

S= Pi yi .

Действие распределенной нагруз-ки (рис 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике. 5.5 б). Если рассматривать простую силу q(x)dx как сосредоточенную силу, то

Рис. 5.5 S=.

Когда же распределенная нагрузка постоянна, т.е. q(x)=q=const, то

S=q.

Тут  – площадь ЛВ в области 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике деяния распределенной нагрузки.

Если на сооружение действует несколько сосредоточенных сил и распределенных нагрузок, то по принципу суперпозиции

S= Pi yi+ qj ωj .

^ 5. Построение ЛВ усилий фермы

Разглядим ферму (рис. 5.6 а). При воздействии 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике только вертикальной нагрузки ее опорные реакции будут такими же как у вспомогательной балки (рис. 5.6 б). Потому ЛВ опорных реакций фермы будут подобны ЛВ балки (рис. 5.6 в, г).

Для построения ЛВ продольных усилий 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике фермы воспользуемся методами вырезания узлов и сквозных сечений.

а) Внедрение метода вырезания узлов

Для построения ЛВ N2-6 сначала разглядим узел 1. Потому что к этому узлу силы не приложены, то по признаку 1 N1-6=0.

После 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике чего вырежем узел 6 фермы. Тут могут быть два варианта:

1) когда единичная сила P=1 находится в этом узле (рис. 5.6 е), то

Y= N2-6 sin+1–1=0. Отсюда N2-6=0.

2) когда единичная сила P=1 находится вне этого узла 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике (рис. 5.6 ж), то

Y=N2-6 sin+RA=0. Отсюда N2-6= –RA.

Тогда, используя ЛВ опорной реакции RA, можно выстроить ЛВ усилия N2-6 (рис. 5.6 д).




Рис. 5.6

б) Внедрение метода сквозных сечений

Поперек фермы проведем сквозное сечение 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике I–I (рис. 5.7 а) и получим независящие левые и правые части. Единичная сила P=1 может находиться в обоих частях фермы.

1) Единичная сила левее сечения (рис. 5.7 б):

M=N2-3 h+RB 2a 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике=0. Отсюда N2-3= –2RB ;

Y= –N3-7 sin+RB=0. Отсюда N3-7=RB .

2) Единичная сила правее сечения (рис. 5.7 в):

M= –N2-3 h – RA a=0. Отсюда N2-3= –RA ;

Y=N3-7 sin+RA=0. Отсюда N3-7= –RA .

В первом случае 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике определяем ординаты ЛВ этих усилий меж узлами 6-7, т.е. определяем их левые ветки, а во 2-м случае определяем ординаты обоих ЛВ меж узлами 8-10, т.е. определяем правые ветки ЛВ. Соединив точки меж 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике узлами 7-8, получаем переходную прямую и окончательный вид ЛВ (рис. 5.7 г, д ).



Рис. 5.7

Как видно из этих примеров, у ЛВ продольных усилий фермы есть последующее характеристики: ветки ЛВ пересекаются под моментной точкой 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике; если же моментной точки нет, ветки ЛВ параллельны.

В о п р о с ы

1. Что такое линия воздействия и чем она отличается от эпюры?

2. В чем преимущество способа линий воздействия?

3. Чем отличается 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике ЛВ при узловой передаче нагрузки?

4. Как определяется усилие от неизменной нагрузки по ЛВ?

5. Какие методы применяются при построении ЛВ усилий фермы?


Л е к ц и я 6

^ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

1. Понятие о перемещениях

При 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике воздействии нагрузки, температуры и других причин сооружения меняют свою форму, а его точки получают перемещения.

Перемещение – векторная величина. Перемещение хоть какой точки на плоскости можно задать через его модуль и направление. К примеру 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике, вектор перемещения точки А рамы в точку А (рис. 6.1 а) определяется через его модуль A и угол (направление) A (рис. 6.1 б). А эти величины можно определять через горизонтальную и вертикальную составляющие 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике xA и yA вектора перемещения :

A=, A=arc tg.

Поступательные перемещения A, xA, yA будем именовать линейными перемещениями, а A – угловым перемещением.



Рис. 6.1

Способы определения перемещений основаны на определении работ наружных и внутренних 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике сил. В механике рассматриваются два вида таких работ – действительные и вероятные работы.

^ 2. Действительные работы наружных и внутренних сил. Возможная энергия

Реальным перемещением именуется перемещение, вызванное силой по направлению ее деяния (рис. 6.2 а). В упругих системах 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике перемещение  прямо пропорционально действующей силе и потому производится закон Гука

 = P,

где коэффициент  именуется податливостью.

Эту зависимость можно представить в виде диаграммы  –P (рис. 6.2 б).



Рис. 6.2

Реальной работой именуется работа силы на ее 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике реальном перемещении.

Действительную работу силы P можно отыскать по рис. 6.2 б:

W=.

Эта формула определяет аксиому Клапейрона: сила, действующая на упругую систему, совершает работу, равную половине произведения силы на перемещение.

Если пользоваться 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике законом Гука, то

W= 0.

Отсюда следует, что наружняя сила совершает положительную работу.

Когда на систему действуют несколько сил, то по принципу суперпозиции

W=.

В идеально-упругой системе подразумевается, что работа наружных 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике сил ^ W стопроцентно перебегает в потенциальную энергию деформации U:

W =U.

Если убрать наружные силы, упругая система вернется в начальное положение. Эту работу совершают внутренние силы. Потому что работа наружных сил 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике W всегда положительна, то работа внутренних сил V будет отрицательной:

^ W=–V.

Определим работу внутренних сил плоской стержневой системы.

а) Работа продольной силы N

Пара продольных сил N, действующих на элемент dx 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике, приводят к его чистому растяжению (рис. 6.3 а).



Рис. 6.3

По аксиоме Клапейрона эти силы на общей деформации элемента (реальном перемещении) N совершают действительную работу

–dVN=N·N .

С учетом закона Гука при растяжении N= получим 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике

−dVN=dx,

где E – модуль Юнга, F – площадь сечения, EF – твердость на растяжение.

б) Работа изгибающего момента М

Пара изгибающих моментов M, действующих на элемент dx, приводят к его чистому извиву 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике (рис. 6.3 б). На общей деформации M эти моменты совершают работу

–dVM=M·M .

По закону Гука M=. Потому

–dVM=dx ,

где I – момент инерции сечения, EI – твердость на извив.

в) Работа поперечной силы Q

Действие пары 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике поперечных сил Q приводит к чистому сдвигу элемента dx (рис. 6.3 в). На общей деформации Q они совершают работу:

–dVQ=Q·Q .

По закону Гука, Q=. Потому

–dVQ=dx,

где  – коэффициент формы сечения 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике, GF – твердость на сдвиг.

Сейчас воспользуемся принципом суперпозиции:

–dV=–(dVM+dVQ+dVN)= dx.

Если проинтегрировать это выражение по всей длине элемента l и учитывать наличие в системе n стержней, получим выражение возможной энергии 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике всей стержневой системы:

U= –V=dx .

^ 3. Вероятные перемещения.

Вероятные работы наружных и внутренних сил

Маленькое перемещение, допускаемое связями системы, именуется вероятным перемещением. Предпосылкой вероятного перемещения могут быть другие силы, изменение 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике температуры, осадки опор и др.

Работа силы на ее вероятном перемещении именуется вероятной работой. Вероятное перемещение обозначим ij, а вероятную работу Wij (тут i значит направление, а j – причину).

К примеру, если в некой точке 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике балки действует сила Pi, а потом в другой точке начнет действовать другая сила Pj, то опора в точке деяния силы Pi получит вероятное перемещение ij (рис. 6.4 а). Потому что в это 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике время сила Pi остается неизменной, совершаемая ею вероятная работа определяется площадью прямоугольника (рис. 6.4 б):

Wij=Piij .

Таким макаром, вероятная работа равна произведению силы на вероятное перемещение.



Рис. 6.4

При определении вероятной 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике работы следует рассматривать два состояния системы: в одном из их действуют данные, а во 2-м – вероятные силы.

Аксиома Бетти. Вероятная работа сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике вероятной работе сил j-го состояния на перемещениях i-го состояния.

Подтверждение. Пусть на систему действуют силы Pi и Pj. Приложим их в разной последовательности и разглядим два состояния системы:

1) прикладывается сила 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике Pi, потом сила Pj (рис. 6.5 а);

2) прикладывается сила Pj, потом сила Pi (рис. 6.5 б).



Рис. 6.5

В этих состояниях силы на реальных перемещениях совершают действительные, а на вероятных перемещениях – вероятные работы. Выражения работ 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике в обоих состояниях будут:

Wij=Piii+Pjjj+Piij; Wji=Pjjj+Piii+Pjji.

На основании принципа суперпозиции итог воздействия этих сил не находится в зависимости от порядка их приложения. Как 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике следует, обе работы равны: Wij=Wji. Отсюда получаем

Piij=Pjji .

Аксиома подтверждена. Ее нередко именуют аксиомой о взаимности работ.

Сейчас определим вероятную работу внутренних сил. Для этого разглядим два состояния системы 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике:

1) действует сила Pi и вызывает внутренние усилия Mi, Qi, Ni;

2) действует сила Pj, которая в границах малого элемента dx вызывает вероятные деформации

Mj=dx, Qj=dx, Nj=dx.

Внутренние усилия 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике первого состояния на деформациях (вероятных перемещениях) второго состояния совершат вероятную работу

–dVij=MiMj+QiQj+NiNj=dx+dx+dx .

Если проинтегрировать это выражение по длине элемента l и учитывать наличие в системе n 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике стержней, получим формулу вероятной работы внутренних сил:

–Vij=dx .

^ 4. Интеграл Мора. Определение перемещений

Разглядим два состояния стержневой системы:

1) грузовое состояние (рис. 6.6 а), в каком действующая нагрузка вызывает внутренние усилия MP 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике, QP, NP;

2) единичное состояние (рис. 6.6 б), в каком действующая единичная сила P=1 вызывает внутренние усилия .



Рис. 6.6

Внутренние силы грузового состояния на деформациях единичного состояния , , совершают вероятную работу

–Vij=dx.

А единичная сила P=1 единичного состояния на 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике перемещении грузового состояния P совершает вероятную работу

Wij=1P=P .

По известному из теоретической механики принципу вероятных перемещений в упругих системах эти работы должны быть равными, т.е. Wij= –Vij. Означает 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике, должны быть равны и правые части этих выражений:

P=dx .

Эта формула именуется формулой Мора и употребляется для определения перемещений стержневой системы от наружной нагрузки.

Разглядим отдельные случаи внедрения формулы Мора.

1. В 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике опорах (рис. 6.7 а) вероятны три варианта:

− если  8, в формуле оставляется только член с моментами:

P=;

− если 5≤≤8, учитываются и поперечные силы:

P=dx;

− если  5, формула Мора дает огромные погрешности. В данном случае перемещения 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике следует определять способами теории упругости.



Рис. 6.7

2. В рамах (рис. 6.7 б) элементы в главном работают лишь на извив. Потому в формуле Мора учитываются только моменты.

В больших рамах учитывается и продольная сила:

P 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике=dx .

3. В арках (рис. 6.7 в) нужно учесть соотношение меж основными размерами арки l и f:

1) если  5 (крутая арка), учитываются только моменты;

2) если 5 (пологая арка), учитываются моменты и продольные силы.

4. В фермах (рис. 6.7 г) появляются 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике только продольные силы. Потому

P =dx==.

В о п р о с ы

1. Чем отличаются действительная и вероятная работы?

2. Как формулируется аксиома Бетти?

3. Какие состояния рассматриваются при определении перемещений?

4. Чем отличаются 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике определение перемещений в рамах и фермах?


Л е к ц и я 7

^ РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ Способом СИЛ

1. Понятие о статически неопределимых системах

Статически неопределимой именуется система, внутренние усилия которой нельзя найти только из уравнений статики 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике (равновесия). Статически неопределимые системы (СНС) отличаются от статически определимых рядом параметров:

1. Они надежнее, разрушение неких частей не всегда приводит к разрушению всей системы.

2. Они выдерживают бо́льшую нагрузку.

3. У 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике их деформации меньше.

4. Изменение температуры, смещение опор, некорректность производства частей вызывают дополнительные усилия.

5. Внутренние усилия зависят от физических и геометрических черт частей.

У статически неопределимых систем есть так именуемые «лишние» связи, число которых именуется 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике степенью статической неопределимости. Степень статической неопределимости n обычной системы определяется из дискового аналога по последующей формуле:

.

К примеру, степени статической неопределимости балки (рис. 7.1 а) и рамы (рис. 7.1 в) будут:

n=2·0+0+4–3·1=1 и n 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике=2·0+1+4–3·1=2.

Внедрение этой формулы при расчете сложных рам проблемно. Потому можно применить другой подход, вводя два понятия: 1) замкнутый контур – замкнутая цепь из частей и связей системы; 2) удалённая связь – связь замкнутого контура, исключенная 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике из жесткого соединения частей (см. рис. 7.1 б, г, е).



Рис. 7.1

Степень статической неопределимости сплошного замкнутого контура приравнивается трем. Потому степень статической неопределимости системы из nк замкнутых контуров, из которых удалены nуд связей, будет 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике

n=3nк – nуд.

При использовании этой формулы для балки (рис. 7.1 а) и рам (рис. 7.1 в, д) в этих системах нужно найти общее число замкнутых контуров nк и удаленных связей nуд (рис. 7.4 б 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике, г, е). Тогда

− для балки: n=32–5=1;

− для рам: n=32–4=2, n=32–4=2.

Степень статической неопределимости фермы определяется по формуле

n= nС+ n–2nУ .

К примеру, для фермы (рис. 7.1 ж): n=6+3–24=1.

^ 2. Выбор основной системы

Расчет статически неопределимой системы начинается 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике с перевоплощения ее в статически определимую. Для этого нужно исключить излишние связи и поменять их реакции неведомыми силами. Приобретенная система именуется основной системой (ОС).

К примеру, у балки (рис 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике. 7.2 а), которую дальше будем именовать данной системой (ЗС), степень статической неопределимости n=1. Если исключить лишнюю связь (правую опору) и обозначить неведомую реакцию через X, получим ее ОС (рис. 7.2 б).



Рис. 7.2

Методов исключения излишних 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике связей сильно много (на теоретическом уровне – нескончаемое число). К примеру, лишнюю связь можно исключать как на рис. 7.2 в-е. Но одна из этих схем (рис. 7.2 е) геометрически изменяема и для предстоящего расчета неприменима. Все 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике другие схемы могут быть приняты за основную систему.

Если пользоваться известным теоретическим положением о том, что в линейно-упругих системах наружняя нагрузка распределяется единственным образом, то результаты расчетов по разным ОС 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике должны быть схожими. Но объем вычислений в различных ОС может быть различным. Потому из многих вариантов ОС необходимо выбирать более лучшую. К примеру, в нашем примере 1-ый вариант ОС (рис 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике. 7.2 б) лучше других, т.к. в ней эпюры строятся легче.

Итак, основная система должна быть:

1) обязательно геометрически неизменяемой;

2) простой для расчета;

3) учитывать особенности сооружения и действующей нагрузки.

^ 3. Суть способа сил

В рассматриваемом способе расчета 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике статически неопределимых систем за главные неведомые принимаются силы (внутренние усилия). Потому он и именуется способом сил.

Изучим способ сил на примере предшествующей балки (рис. 7.2 а).

Потребуем, чтоб ее ЗС (рис. 7.2 а) и ОС 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике (рис. 7.2 б) были эквивалентными. Для этого перемещение в направлении исключенной связи должно приравниваться нулю:

=0.

По принципу суперпозиции, это перемещение равно сумме перемещения X (рис. 7.3 а) от неведомой реакции X и перемещения 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике P (рис. 7.3 б) от данной силы P. Потому

=X+P=0.

Это уравнение, учитывающее геометрические особенности системы, именуется уравнением совместности деформаций.



Рис. 7.3

Потому что сила X неведома, перемещение X конкретно найти нельзя. Потому разглядим 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике единичное состояние (ЕС) основной системы, где действует только единичная сила P=1 (рис. 7.3 в). Перемещение , возникающее в нем в направлении единичной силы, именуется податливостью, и его уже можно найти.

По закону Гука, в линейно 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике-упругой системе X= X. Тогда последнее уравнение воспринимает вид

 X+P=0.

Его именуют каноническим уравнением способа сил. Такое уравнение выходит для хоть какой один раз статически неопределимой системы. Если известны 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике  и P, из него определяется неведомая сила: X= –P/ .

Если в системе имеется n излишних связей, то необходимо исключить все эти излишние связи и избрать ОС с n неведомыми X1, X2, , Xn 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике. Тогда, из критерий эквивалентности ЗС и ее ОС (критерий равенства нулю перемещений в направлениях исключенных связей) можно составить n уравнений совместности деформаций:

=++++1P=0,

=++++2P=0,

. . . . . . . . . . . . . .

n=++++nP =0.

При рассмотрении n разных единичных состояний системы и 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике определении податливостей по разным фронтам эти уравнения приводятся к системе уравнений:

+X2++Xn+P=0,

+X2++Xn+2P=0,

. . . . . . . . . . . . .

+X2++Xn+nP=0.

Она именуется системой канонических уравнений способа сил. Тут – главные коэффициенты 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике, – боковые коэффициенты. Свободные члены iP именуются грузовыми коэффициентами.

Систему с огромным количеством уравнений нужно решать на компьютере. С этой целью введем матричные обозначения:

 = ; X = ; P = ; 0 = ,

где  – матрица податливости, X – вектор неведомых, P 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор. В итоге этого система канонических уравнений воспринимает вид:

 X +P = 0.

Из этого матричного уравнения определяется вектор неведомых:

X = – –1P .

Тут –1 – оборотная матрица податливости.

^ 4. Определение коэффициентов канонических уравнений

Коэффициенты при 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике неведомых и грузовые коэффициенты iP системы канонических уравнений – вероятные перемещения от единичных сил и нагрузки. У их есть два индекса. 1-ый индекс i показывает на направление, а 2-ой индекс j (либо P) – на 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике причину перемещения.

Методику вычисления этих коэффициентов разглядим на примере условной статически неопределимой системы (рис. 7.4 а) и ее основной системы (рис. 7.4 б).



Рис. 7.4

Для определения коэффициентов разглядим два состояния ОС:

1) i-ое единичное состояние 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике – воздействие силы Xi=1 (рис. 7.4 в);

2) j-ое единичное состояние – воздействие силы Xj=1 (рис. 7.4 г).

Если в этих состояниях появляются внутренние усилия , ,  и , , , то вероятная работа внутренних сил i-го состояния на 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике деформациях j-го состояния будет:

–Vij=dx.

С другой стороны, вероятная работа наружных сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна

Wij=1×dij=dij .

По принципу вероятных перемещений Wij=–Vij. Приравнивая их 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике получаем формулу для вычисления коэффициентов при неведомых:

dij=dx .

Аксиома Максвелла. Перемещение в i-ом направлении от единичной силы в j-ом направлении равна перемещению в j-ом направлении от единичной 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике силы в i-ом направлении, т.е. dij=dji .

Подтверждение. Вероятную работу сил i-го единичного состояния (рис. 7.4 в) на перемещениях j-го состояния (рис. 7.4 г) мы уже знаем: Wij=dij. А вероятная 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике работа сил j-го состояния на перемещениях i-го состояния равна Wji=1×dji=dji. По аксиоме Бетти Wij=Wji. Как следует, dij=dji .

Эта аксиома позволяет уменьшать объем вычислений при нахождении боковых 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике коэффициентов системы канонических уравнений.

Сейчас выведем формулу вычисления грузовых коэффициентов.

Сначала определим вероятную работу сил i-го единичного состояния (рис. 7.4 в) на перемещениях грузового состояния (рис. 7.4 д):

WiP=1×DiP=DiP .

С другой 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике стороны, вероятная работа внутренних сил , , i-го единичного состояния на деформациях грузового состояния равна

–ViP=dx.

По принципу вероятных перемещений WiP= –ViP. Приравнивая их получим формулу вычисления грузовых коэффициентов: DiP=dx 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике.

Потому что в рамах и опорах перемещения определяются в главном изгибными деформациями, то коэффициенты канонических уравнений можно вычислять по сокращенным формулам:

=dx=,

=dx=,

где символ употребляется для сокращения записи формулы вычисления интеграла Мора 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике и значит условное «произведение» 2-ух эпюр.

В о п р о с ы

1. В чем состоит отличие статически неопределимых систем от статически определимых систем?

2. Как определяется число излишних связей статически неопределимой системы 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике?

3. Каким требованиям должна удовлетворять основная система?

4. В чем заключается физический смысл канонических уравнений способа сил?

5. Чем отличается вычисление коэффициентов при неведомых от вычисления грузовых коэффициентов?

6. Какое преимущество дает внедрение аксиомы Максвелла?


Л е 3.3. Метод вырезания узла - Курс лекций по строительной механике к ц и я  8


33-test-nalog-na-pribil-organizacij-nalogovaya-sistema.html
33-trebovaniya-k-komfortnosti-i-privlekatelnosti-maloj-gostinici-biznes-plan-dlya-gostinici-marketingovij-analiz.html
33-uchet-administrativnih-pravonarushenij-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-pravovaya-statistika-nazvanie-disciplini.html